蝙蝠俠是超級英雄，小丑是秩序破壞者。當蝙蝠俠不在，你我這樣的平常人深陷小丑主宰的性命游戲之中時，怎樣戰勝他？答案是用數學，這是一場博弈，要想活命，我們必須算清方方面面。

　　蝙蝠俠是超級英雄，小丑是秩序破壞者。蝙蝠俠堅信正義，小丑蔑視道德。當蝙蝠俠未能及時出現，而你我這樣的普通人又深陷小丑一手設計的性命游戲之中時，如何才能倖免於難？關鍵就在堅守小丑蔑視的——道德。但這還遠遠不夠，在這場用性命博弈的游戲中，採取什麼樣的策略，只有經過精細地計算才能知道。

　　本文就選取了電影 蝙蝠俠前傳2：黑暗騎士 中的一個經典片段，對其中複雜且變數頗多的博弈做了深入的分析。

小丑設計的“社會實驗”

　　小丑最後的行動是在兩艘載滿乘客的渡輪中做一個“社會實驗”。兩艘渡輪中，一艘全是普通市民，另一艘則載滿了高譚市的罪犯。小丑早早地就在兩條船上綁滿了炸彈，當所有人都上船後，他發出威脅，開始制定游戲規則：

　　心靈扭曲的小丑想看到“煙花”，即至少有一條船由乘客自己炸掉。為了方便分析，我們先假設小丑沒有耍其他的花招（比如引爆器其實只會引爆自己這艘船），在他自己也遵守上述規則的情況下，他會認為：好市民們可能會因為自己的船上有小孩、他們從未犯過罪等等理由炸掉另一船劣跡斑斑的罪犯；而罪犯們則有可能為了保命從武裝警衛那裏搶來引爆器。

　　問題的關鍵在於一艘船上的乘客判斷另一艘船上的人會採取什麼行動，要知道他們並沒有辦法交流。在小丑眼中，這無疑就是一個囚徒困境：

　　其中 1 表示引爆獲的收益（這裡就是存活），0 表示放棄引爆的收益（這裡是死亡）。容易看出，無論對哪一方來説，選擇按下引爆器才是最有策略，因為只有按下引爆器才有生還的可能。

但結果並沒有那麼壞

　　果真如此的話，那整個故事只會令人厭惡的流暢。幸運的是，在高譚市這種情況並沒有發生。而有意思的是，雖然最終決策相同，但兩艘船上的人做出決策的過程卻截然不同。

　　在載有罪犯的船上，這個決策的過程是發散的，即任意一個人或者一部分人只要從警衛那裏搶得引爆器，他（們）不必徵求其他罪犯的意見就會按下按鈕（只要他決心這樣做）。雖然船上武裝警衛有着獨裁地位和維持獨裁的力量，但隨着時間慢慢逼近 deadline，他們的權利也會逐漸下放。很明顯的，這種分散的決策過程會放大個人的作用，從這個角度説，這條船上的人會更傾向於選擇存活下來——也就是炸飛另一條船。

　　與此同時，另一條船上的決策過程則理性許多。市民們遵循多數代表全體的道理，選擇通過投票的方法做出最後決定。最終的結果是 3：1 ，大多數人同意按下引爆器。奇怪的是卻沒有一個人願意站出來去執行。市民們是理智的，一方面他們做出一個符合大多數人利益（或者説意願）的決定，一方面也沒有哪個人願意成為劊子手。

　　到這裡我們知道，兩條船上的人本都該選擇炸掉另一條船，但他們都沒有選擇這樣做。究其原因，道德的約束在這裡起到了很大的作用。因此，在這場博弈中，如果不考慮道德這個參量，未免過於片面。

道德價值在生死博弈中的體現

　　道德在社會規範中的價值讓參與選擇的乘客並不只考慮自己的性命。按下了那個按鈕，負罪感就會隨之而來；另外即便按下引爆器的人活了下來，回到正常社會中時也很有可能會遭受非議。但有時，道德並不利於存活下來，當生存下來的價值大於道德的價值時，未必不會有人迫不得已炸掉隔壁那艘船。

　　因此， 當 生存 > 道德 時，這場博弈的收益矩陣就變成了如下的樣子：

　　這種情況下存在純策略納什均衡，那就是（放棄引爆，引爆-）與（引爆，放棄引爆）。採取這兩種策略（中的任意一個），對雙方來説不是損失最小就是收益最多。由於兩艘船上的人沒有辦法進行交流，在這種情況，選擇引爆和放棄引爆的概率各為 1/2。需要注意的是，這個概率會因為道德價值的變化而變化，只在放棄引爆獲益為 1 ，引爆獲益為 2 時，兩種選擇的概率才都為 1/2。很容易算出，選擇均衡策略的概率就是 1/2 ；而雙方都放棄引爆的概率是 0.25。

　　然而這只是一次博弈的結果。小丑在 23：30 發出威脅，當 5 分鐘後雙方發現對方並沒有按下引爆器時，他們之後的決策也會因此受到影響，選擇引爆和選擇放棄引爆的概率隨之改變。

　　這就是所謂的重復博弈——相同結構的博弈重復多次甚至無限次。其中每次博弈被稱為“階段博弈”。而這個階段博弈一般是一個大家熟悉的博弈（如囚犯困境）。因為其他參與人過去決策和行動的歷史是可觀測的，因此在重復博弈中，每個參與人可以使自己在每個階段選擇的策略依賴於其他參與人過去的行為，信任和抱負由此而生。

　　即便如此，我們的考慮還是有所欠缺。如果道德處於一個很高的地位，以至於當 道德 > 生存 時，場面又會截然不同：

　　這種情況下，純策略的納什均衡是雙方都放棄引爆，因為無論什麼時候這個選擇都比引爆可以收益更多。這似乎可以用來解釋為什麼影片中兩艘船上的乘客都放棄了引爆，選擇等待。

放棄引爆未必意味着死亡

　　但故事到這裡卻並沒有結束。除了道德高尚，在道德 < 生存時，一些其他的因素也足以讓兩條船上的人選擇合作，都放棄引爆。那就是相信死亡是一個概率事件。實際上，乘客們受到的死亡威脅無非來自兩個方面，第一是另一艘船的引爆，前面已經分析過，選擇引爆是個概率事件。另一個威脅則是小丑，如果兩艘船到午夜 12 點都沒有選擇按下引爆器，小丑威脅過會做出懲罰，但他做出懲罰的概率也未必是 100%，比如小丑在等待期間可能被蝙蝠俠及時擺平，有可能他的行動被高譚市警方及時阻止了。

　　如果設道德的價值是 M，生存下來的價值是 S，小丑懲罰的概率為 Pc，另一艘船按下引爆器的概率是 P(dx)， x 指引爆的那艘船（ P(dx) 因不同的人群和其他一些複雜因素而各不相同）。用 U 表示收益，那麼對每艘船來説，放棄引爆的收益就是：

　　如果要兩艘船保持合作，那就要求上面兩個式子的值分別大於按下引爆器的收益（S - M）：

以船 A 為例，我們可以推出：

　　只有當上式成立時， A 船上的乘客才會放棄引爆，選擇等待。特別的，當 M = S 時， Pc + P(dx) < 1 就成為了放棄引爆的前提。

　　而另一方面，如果一個群體完全無視道德，只要他們有一點點活下來的意願，就會毫不猶豫的炸毀另一艘船。所以如果道德對於另一艘船上的乘客來説根本不值錢，那麼己方道德的成本就會高的難以承受。在本文的分析中，我們始終默認道德在兩艘船上的不同群體中價值是相同的。但實際上一船是市民，另一船是重度罪犯，在兩艘船上 M 的值有可能並不相同。如此一來，問題就會變得更加複雜。

　　除此之外，還有其他許多的影響博弈的因素。例如船上的炸彈存在一個技術故障的機會（例如也許船上有人有能力在一段時間內把它拆除）。而小丑的話也並不值得相信，你如何能確定這樣一個劍走偏鋒的人會遵循正常的游戲規則？也許每個船上的引爆器只是指向自己這艘船，倘若將這個因素也考慮進來，那“引爆”這個決策就還有一個隱藏成本。

　　回到最初的故事上來，通過上面的分析我們知道，這是一場複雜而精妙的博弈。無數隱藏的不確定因素在按與不按這兩個看似清晰的抉擇背後盤根錯節，任意一個因素都可能改變結局。這場博弈挑戰了人們的道德觀，考驗了人們對生命的態度。幸好還有蝙蝠俠，即便如此，面對這個故事，我們更想要的還是——永遠沒有小丑。

    道德及社會規範是一個龐大而複雜的學科，關於這方面的研究資料更是浩如煙海。就是這樣，這個學科依然有很多不清楚和存在爭議的地方，再加上本文定義的“道德”可能和傳統定義略有不同，所以歡迎大家來積極討論，各抒己見。

　　本文改編自： The Quantitative Peace

　　參考資料： Game Theory and The Dark Knight